왜 14은 0.25로 딱 끝나는데 13은 0.333…으로 끝없이 갈까요? 분수와 소수가 서로 잘하는 일, 수직선의 빈틈, 백분율까지 따라가 봐요.
처음이라 어렵게 느껴지면 기본 버전부터 보세요.
같은 양을 두 가지로 쓸 수 있다면 하나만 있어도 되지 않을까요? 그런데 둘은 잘하는 일이 달라요. 상황을 골라 보세요.
단위분수 12부터 116까지 나눗셈으로 소수를 만들어 봤어요. 끝나는 것과 끝나지 않는 것을 비교해 보세요. 어떤 규칙이 보이나요?
끝나는 분모는 2, 4, 5, 8, 10, 16 … 모두 2와 5만 곱해서 만든 수예요. 10, 100, 1000이 2와 5의 곱이라서, 분모에 2와 5만 있으면 무언가를 곱해 10, 100, 1000으로 만들 수 있어요. 3, 7, 9 같은 다른 수가 들어 있으면 끝나지 않아요(약분한 다음에 봐야 해요). 중학교 2학년에서 이것을 정식으로 배워요.
끝나지 않는 소수는 아무렇게나 이어지지 않아요. 언젠가 같은 무늬가 되풀이돼요. 나눗셈에서 같은 나머지가 다시 나오면 그다음은 똑같이 반복되니까요. 분수를 골라 보세요.
나머지는 분모보다 작은 수밖에 없어요(7로 나누면 나머지는 1~6). 그러니 늦어도 분모 개수만큼 나누면 같은 나머지가 다시 나와 무늬가 되풀이돼요. 그래서 분수는 언제나 끝나거나, 되풀이되는 소수가 돼요.
0과 1 사이에는 0.1, 0.2 … 9개가 있는 것 같지만, 0.3과 0.4 사이를 확대하면 0.31, 0.32 …가 있고, 그 사이를 또 확대하면 0.371, 0.372 …가 있어요. 확대해 보세요.
아무리 확대해도 사이에 또 수가 있어요. 두 수 사이에는 언제나 끝없이 많은 소수(그리고 분수)가 있어요. 수직선에는 빈틈이 없다는 생각이 중학교, 고등학교 수학의 큰 바탕이에요.
100칸 판에서 몇 칸인지를 %(퍼센트)로 쓰면 백분율이에요. 25칸 = 25100 = 0.25 = 25%. 분모가 100인 분수를 쓰는 또 다른 방법이에요. 칸 수를 바꿔 보세요.
1 m의 34 = 0.75 m = 75 cm. 자 눈금은 소수, 나눠 쓴 양은 분수로 생각하면 편해요.
달리기 기록 12.35초. 0.01초 차이로 순위가 바뀌어요. 소수라서 크기 비교가 바로 돼요.
강수 확률 30% = 0.3 = 310. 10번 중 3번쯤 비가 온다는 뜻이에요.
1000원의 0.5 = 12 = 500원. 할인 25%는 가격의 14을 깎아 주는 거예요.
0.3 × 0.2 = 310 × 210 = 6100 = 0.06. 소수를 분수로 보면 소수점 위치의 이유가 보여요.
비율은 분수·소수·%로 모두 쓸 수 있어요. 원의 원주율 3.14159…는 끝나지도, 되풀이되지도 않는 특별한 수예요.
Q2의 "분모에 2와 5만"이 유한소수 판별법이 되고, Q3의 무늬가 순환소수가 돼요. 0.333…을 분수 13로 바꾸는 방법도 배워요.
넓이가 2인 정사각형의 한 변은 1.41421356…처럼 끝나지도 되풀이되지도 않아요. 분수로는 나타낼 수 없는 수(무리수)예요.