1m 자로 쟀는데 딱 맞지 않고 남을 때, 그 남는 길이를 나타내려고 분수가 생겼어요.
처음이라 어렵게 느껴지면 기본 버전부터 보세요. 초콜릿 바로 한 걸음씩 가요.
교과서는 "분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누면 크기가 같은 분수가 됩니다"라는 규칙으로 시작해요. 이 노트에서는 규칙보다 먼저, 사람들이 왜 분수를 만들었는지에서 출발해요. 그러면 크기가 같은 분수, 약분, 통분이 모두 같은 이야기라는 게 보여요.
약수와 배수에서 "약수는 원래 재는 자였어요"라는 이야기를 했지요. 그런데 자로 쟀는데 딱 맞지 않고 조금 남으면 어떻게 할까요? 1m짜리 자로 리본을 재 봐요.
1m 자로는 리본이 자보다 짧아서 잴 수가 없어요. 옛사람들은 이럴 때 자를 똑같이 잘게 나눠서 작은 눈금으로 쟀어요. 그게 분수예요. 눈금을 4칸으로 나누면 리본은 4칸 중 3칸, 즉 34 m예요.
그런데 막대를 움직여 보면 8칸, 12칸으로 나눠도 딱 맞아요. 그때는 68 m, 912 m라고 부르게 되지요. 리본은 하나인데 재는 눈금에 따라 이름이 여러 개예요. 이게 '크기가 같은 분수'가 생기는 진짜 이유예요.
약 3600년 전 고대 이집트의 수학책(린드 파피루스)에는 분자가 1인 분수가 주로 나와요. 분자가 1이라는 건 '조각 하나'라는 뜻이에요. 이런 분수를 단위분수라고 해요(12, 13, 14, …).
이집트 사람들은 34처럼 "4조각 중 3조각"이라고 말하지 않았어요. 대신 크기가 서로 다른 조각을 하나씩 더해서 말했어요.
34 = 12 + 14 (반 조각 하나 + 4분의 1 조각 하나)
빵 3개를 4명이 똑같이 나누기: 색깔이 같은 조각이 한 사람의 몫이에요.
왜 이렇게 했을까요? 빵 3개를 4명이 나눈다고 생각해 봐요.
모든 빵을 4조각씩 잘게 자르는 것보다 조각 수가 적고 나누기도 편해요(12조각 대신 8조각). 실제로 빵과 곡식을 나눠 주던 사람들에게 딱 맞는 방법이었어요. 이 이야기에서도 같은 양을 여러 가지로 나타낼 수 있다는 걸 볼 수 있어요.
한편 메소포타미아 사람들은 60을 기준으로 잘게 나눈 눈금을 썼는데, 그게 지금의 분(1시간의 160)과 초로 남아 있어요.
초콜릿 34을 세로 칼집으로 4칸 나눈 직사각형이라고 생각해 봐요. 여기에 가로 칼집을 넣으면 어떻게 될까요?
가로 칼집을 2번 넣으면 가로로 3줄이 생기고, 모든 칸이 똑같이 3조각으로 나뉘어요. 그래서 전체 조각은 4 × 3 = 12, 색칠한 조각은 3 × 3 = 9가 돼요. 색칠한 넓이는 하나도 변하지 않았어요. 위(분자)와 아래(분모)에 같은 수를 곱하는 건 모든 조각에 같은 칼집을 넣는 일이에요.
분모만 3배 하면(312) 조각은 잘게 잘랐는데 먹는 조각 수는 그대로라서, 먹는 양이 13로 줄어요. 분자만 3배 하면(94) 초콜릿이 갑자기 2개가 넘게 돼요.
칼집으로 0줄을 만든다는 건 말이 안 돼요. 00은 "0조각으로 나눈 것 중 0조각"이라 아무 뜻이 없어요. 그래서 교과서도 "0이 아닌 같은 수"라고 해요.
칼집은 얼마든지 더 넣을 수 있으니 23는 46, 69, 812, … 끝없이 많은 이름을 가져요. 수직선에서 보면 이 이름들은 모두 같은 한 점이에요.
눈금이 달라도 화살표가 가리키는 점은 하나예요.
그중에서 가장 간단한 이름, 더 이상 약분할 수 없는 이름이 기약분수예요. 그 점의 대표 이름이지요. 그럼 약분은 무엇을 하는 걸까요? 약수와 배수 더깊이에서 본 곱셈 조각으로 보면 한눈에 보여요.
분자와 분모를 곱셈 조각으로 쪼갠 다음, 위아래에 함께 있는 조각(보라)을 짝지어 지우면 약분이에요. 위아래에 같은 조각이 있다는 건 Q2의 '같은 칼집'이 들어 있다는 뜻이거든요. 같은 조각을 모두 지우면 남은 분수가 기약분수예요. 지운 조각을 모두 곱하면 바로 최대공약수예요.
약수와 배수에서 "어떤 수든 곱셈 조각 꾸러미는 딱 하나"라는 걸 봤어요. 그래서 위아래에서 같은 조각을 다 지우고 나면 남는 분수도 딱 하나예요. 1218에서 2씩 약분하든 3씩 약분하든 6으로 한 번에 약분하든, 언제나 23에 도착해요.
"1m 30cm와 50cm를 더하면?" 우리는 자연스럽게 둘 다 cm로 바꿔서 130cm + 50cm = 180cm라고 해요. 단위가 다르면 바로 더하거나 비교할 수 없어서 같은 단위로 맞추는 거예요.
분수의 분모가 바로 단위예요. 13m는 "13m짜리 눈금 1칸", 14m는 "14m짜리 눈금 1칸"이에요. 눈금 크기가 달라서 바로 비교할 수 없어요. 그래서 두 길이를 모두 잴 수 있는 더 작은 눈금을 찾아요.
3칸 눈금으로도 4칸 눈금으로도 딱 맞게 쪼개지려면, 1m를 나누는 칸 수가 3의 배수이면서 4의 배수여야 해요. 12칸, 24칸, 36칸, …이 모두 되고, 그중 가장 큰 눈금(가장 적은 칸)이 최소공배수 12칸이에요. 약수와 배수에서 버스가 다시 만나던 그 공배수가 여기서 '공통 눈금'이 되는 거예요.
통분은 언제나 통하는 방법이에요. 하지만 분수를 잘 아는 사람은 상황에 따라 더 빠른 길을 써요. 모두 '분수가 뜻하는 양'을 생각하면 나오는 방법이에요.
35과 37: 둘 다 3조각인데 7조각으로 나눈 쪽이 조각이 작아요. → 35이 커요. 분자를 같게 만들어 비교해도 돼요.
37과 59: 3은 7의 절반(3.5)보다 작고, 5는 9의 절반(4.5)보다 커요. → 하나는 12보다 작고 하나는 커요. 59가 커요.
56와 78: 각각 1에서 16, 18만큼 모자라요. 덜 모자란 쪽이 커요. → 78이 커요.
23와 58: 24칸 눈금으로 맞추면 1624과 1524. → 23가 커요.
"설탕 12컵과 13컵을 넣으세요." 계량컵의 눈금이 서로 다르면 16컵 눈금으로 맞춰야(통분) 모두 몇 컵인지 알 수 있어요. 바로 다음 단원인 분수의 덧셈이에요.
4분음표는 한 마디(4박자 곡에서)의 14, 8분음표는 18이에요. 4분음표 1개 = 8분음표 2개. 한 마디를 여러 음표로 채우는 건 분수를 통분해서 더하는 일과 같아요.
14시간 = 1560시간 = 15분. 1시간이 60분이라 12, 13, 14, 15, 16시간이 모두 딱 떨어지는 분이 돼요. 60의 약수가 많기 때문이에요.
"우리 반 24명 중 18명이 찬성"을 기약분수로 줄이면 34. 4명 중 3명꼴이라는 뜻이 한눈에 보여요. 6학년의 비와 비율로 바로 이어져요.
뿌리는 하나예요. "같은 양을 여러 가지 눈금으로 나타낼 수 있고, 필요에 따라 눈금을 바꾼다."
통분해서 같은 눈금으로 맞춘 다음 칸 수끼리 더하고 빼요. 이 단원의 바로 다음이에요.
계산하기 전이나 중간에 약분하면 수가 작아져서 실수가 줄어요.
2 : 3 = 4 : 6처럼 '비의 앞과 뒤에 같은 수를 곱해도 비율은 같다'는 성질은 크기가 같은 분수와 똑같은 이야기예요.
기약분수의 분모가 2와 5의 곱셈 조각만 가지면 끝나는 소수가 돼요. 약분해서 대표 이름을 봐야 알 수 있어요.
x + 12처럼 문자가 들어간 분수도 같은 원리로 약분하고 통분해요. 고등학교에서는 분수를 쪼개는 부분분수로 이어져요.