단위가 같아야 개수를 더할 수 있어요. 분수의 덧셈과 뺄셈은 모두 이 한 문장에서 나와요.
처음이라 어렵게 느껴지면 기본 버전부터 보세요.
기본 1단계에서 본 '같은 것끼리'를 조금 더 깊이 들여다봐요. "사과 3개 + 사과 2개 = 사과 5개." 너무 당연하죠. 그런데 "사과 3개 + 배 2개"는 무엇 5개일까요? '과일 5개'라고 부를 수는 있지만 사과도 배도 아니에요. 같은 단위끼리만 개수를 바로 더할 수 있어요.
분수도 똑같아요. 38은 "18짜리 조각이 3개"라는 뜻이에요. 분모가 단위 이름, 분자가 개수예요.
그래서 분모를 더하지 않는 거예요. "사과 + 사과 = 사과사과"라고 하지 않듯이, 단위 이름은 더하지 않고 그대로 둬요. 단위가 다르면(분모가 다르면) 먼저 같은 단위로 바꾸고(통분) 개수를 더해요. 1m를 100cm로 바꾸는 것과 같은 일이에요.
많은 친구들이 12 + 13을 위끼리, 아래끼리 더해서 25라고 해요. 기본에서 배운 대로 틀린 계산이에요. 그런데 꼭 25가 나오는 이야기가 있어요.
지우는 슛을 2번 던져 1번 넣었고, 민호는 3번 던져 1번 넣었어요.
던진 횟수 중에서 넣은 횟수가 얼마인지 나타낸 것이에요. 분수로 쓰면 넣은 횟수던진 횟수예요. 지우는 12, 민호는 13이에요. (6학년 '비와 비율'에서 자세히 배워요.)
두 사람을 한 팀으로 합치면 팀의 성공률은 얼마일까요? 버튼을 눌러 비교해 보세요.
팀은 5번 던져 2번 넣었으니 성공률은 25예요. 위끼리, 아래끼리 더한 것과 똑같아 보이지요? 하지만 이건 12과 13을 더한 게 아니에요.
팀을 하나로 보면 지우와 민호를 나눌 필요가 없어요. 처음부터 5번짜리 전체 하나에서 2번 넣은 거예요. 사과를 5조각으로 나눈 것 중 2조각과 같아요. 더한 게 아니라 처음부터 다시 센 것이에요.
증거: 지우가 4번 던져 2번 넣었다고 해 봐요. 지우의 성공률은 24 = 12로 아까와 같아요. 그런데 팀은 7번 중 3번이라 37이 돼요. 똑같은 12 + 13인데 답이 25도 되고 37도 돼요. 덧셈이라면 답은 하나로 정해져야 해요.
분수의 덧셈은 같은 전체(1)를 쪼갠 조각끼리 모으는 거예요. 그래서 12 + 13의 답은 언제나 56예요.
다시 센 25는 13 < 25 < 12처럼 두 성공률 사이에 있어요. 정말 더했다면 12보다 커야 하니까, 이것도 덧셈이 아니라는 증거예요.
받아내림은 분수에만 있는 게 아니에요. 큰 단위 하나를 작은 단위로 바꿔 오는 일이에요. 무엇으로 바꾸는지만 다를 뿐이에요.
자연수는 10개씩 묶는 수라서 10을, 시간은 60분이 1시간이라서 60을, 분수는 분모만큼 조각이 모이면 1이라서 분모만큼을 받아와요. 그래서 "분수 받아내림에서 10을 빌리는" 실수는 자연수의 규칙을 분수에 그대로 쓴 거예요. 무엇이 모여 1이 되는지만 기억하면 헷갈리지 않아요.
수직선에서 보면 덧셈은 이어서 앞으로 가기, 뺄셈은 두 점 사이의 거리(차이)예요. 버튼을 눌러 보세요.
통분한 눈금(12칸)으로 보면 덧셈은 칸을 이어 세고, 뺄셈은 두 점 사이의 칸을 세는 거예요. 뺄셈을 "차이"로 보면 34 − 13은 "13에서 34까지 얼마나 더 가야 하나?"라는 질문이 돼요.
약분과 통분 더깊이에서 이집트 사람들이 34 = 12 + 14처럼 분자가 1인 분수들의 합으로 나타냈다는 이야기를 했어요. 이번엔 우리가 직접 쪼개 봐요.
단위분수: 분자가 1인 분수예요. 12, 13, 14처럼 조각 하나짜리 분수예요.
들어간다: 단위분수가 남은 양보다 크지 않아서 빼낼 수 있다는 뜻이에요.
방법은 한 가지를 되풀이하는 거예요. 남은 양 안에 들어가는 가장 큰 단위분수를 찾아 빼기. 남은 양이 단위분수가 될 때까지 계속해요. 큰 조각부터 넣어야 조각 수가 적어져요.
23 안에 12이 들어갈까요? 분모가 달라서 바로 비교가 안 돼요. 그래서 분자를 같게 맞춰요.
12 = 1 × 22 × 2 = 24 (분모와 분자에 같은 수를 곱해도 크기는 그대로)
이제 23와 24는 둘 다 조각 2개예요. 조각 수가 같으면 분모가 클수록 조각이 작아요. 4조각짜리가 3조각짜리보다 작으니까 24 < 23 → 12은 들어가요 ✓
그래서 12, 13, 14 … 큰 것부터 차례로 분자를 맞춰 보고, 처음으로 들어가는 것이 가장 큰 단위분수예요.
37을 해 보면 분모가 231까지 커져요. 그래서 옛 이집트 사람들은 이런 계산 결과를 표로 만들어 두고 찾아 썼어요.
12 + 14 + 18 + 116 + … 처럼 남은 부분의 반을 계속 더하면 어떻게 될까요? 끝없이 더하니까 끝없이 커질까요?
더할수록 막대는 1에 가까워지지만 절대 1을 넘지 않아요. 언제나 마지막에 더한 조각만큼이 남아 있거든요. 12 + 14 + 18 = 78이면 남은 건 18이에요. 끝없이 더해도 끝이 있는 값에 다가가는 이 생각은 고등학교에서 배우는 '극한'으로 이어져요.
밀가루 12컵과 13컵을 넣으면 모두 56컵. 레시피를 합치거나 덜어 낼 때 분수 덧셈과 뺄셈을 써요.
12시간 공부하고 14시간 쉬면 34시간 = 45분. 시간은 60분이라 분수로 나타내기 좋아요.
4박자 곡의 한 마디는 1이에요. 2분음표(12) + 4분음표(14) + 8분음표 2개(18 + 18) = 1. 마디를 채우는 건 분수의 덧셈이에요.
집에서 학교까지 34km 중 13km를 왔다면 남은 거리는 512km. 남은 양을 구하는 건 뺄셈이에요.
바로 다음 단원이에요. 덧셈은 통분이 필요했지만, 곱셈은 통분 없이 계산해요. 왜 그런지 비교해 보면 재미있어요.
Q2의 '성공률'은 6학년 비율과 백분율로 이어져요. 그때도 비율끼리 더하지 않고 횟수를 다시 세요.
음수가 들어가도 '단위를 맞춰서 개수를 더한다'는 생각은 똑같아요.
x2 + x3 = 5x6처럼 식에서도 통분해서 더해요.
Q6의 '끝없이 더하기'가 수학의 큰 주제인 극한과 급수가 돼요.