외항의 곱과 내항의 곱은 왜 언제나 같을까요? 막대 하나와 그림자로 높은 나무의 높이를 잴 수 있을까요? 비례식이 품고 있는 생각을 따라가 봐요.
처음이라 어렵게 느껴지면 기본 버전부터 보세요.
비례식 2 : 3 = 4 : 6은 "비율이 같다"는 뜻이라 23 = 46로 쓸 수 있어요. 양쪽에 똑같은 수를 곱해도 같으니까, 두 분모를 모두 곱해 볼까요?
분모를 없애려고 양쪽에 3 × 6을 곱하면 왼쪽은 2 × 6, 오른쪽은 4 × 3이 남아요. 바로 외항의 곱과 내항의 곱이에요.
달걀이 2인분에 3개씩 필요하면, 인분과 달걀 수는 5학년에서 배운 대응 관계예요. 표의 아무 두 칸을 골라 비례식을 만들어 보세요.
표의 어느 두 칸을 골라도 비례식이 돼요. 인분 수가 2배, 3배가 되면 달걀도 2배, 3배가 되기 때문이에요. 중학교에서 이런 관계를 "정비례"라고 불러요.
같은 시각에는 햇빛이 같은 각도로 비춰서 물건의 높이 : 그림자 길이가 모두 같아요. 2 m 막대의 그림자가 3 m일 때, 그림자가 12 m인 나무의 높이는 얼마일까요?
옛날 그리스의 탈레스라는 사람은 이 방법으로 피라미드의 높이를 재었다고 전해져요. 직접 올라가지 않아도 비례식으로 높이를 알 수 있어요.
비의 성질에는 언제나 "0이 아닌 같은 수"라는 말이 붙어요. 2 : 3에 0을 곱하면 0 : 0이 돼요. 그런데 5 : 1에 0을 곱해도 0 : 0이에요. 서로 다른 비가 모두 0 : 0이 되어 버려서 원래 비율을 알 수 없어요. 또 0 : 0의 비율은 0 ÷ 0이라서 계산할 수도 없어요. 그래서 0은 빼요.
두 비를 등호로 이었다고 모두 비례식은 아니에요. 외항의 곱과 내항의 곱을 계산해서 확인해 보세요.
축척 1 : 50000인 지도에서 3 cm는 실제로 몇 cm일까요? 1 : 50000 = 3 : □
몇 배? 3 ÷ 1 = 3 → 3배 → □ = 50000 × 3 = 150000 cm
100 cm = 1 m라서 150000 cm = 1500 m = 1.5 km.
4인분 레시피의 설탕 60 g, 6인분이면? 4 : 60 = 6 : □
몇 배? 6 ÷ 4 = 1.5 → 자연수 배가 아니라서 외항·내항의 곱으로
4 × □ = 60 × 6 = 360 → □ = 360 ÷ 4 = 90 g.
자전거로 15분에 4 km를 가면 1시간(60분)에는? 15 : 4 = 60 : □
몇 배? 60 ÷ 15 = 4 → 4배 → □ = 4 × 4 = 16 km.
1 : 100 모형에서 높이 25 cm인 건물은 실제로 몇 m일까요?
모형 : 실제 = 1 : 100 = 25 : □
몇 배? 25 ÷ 1 = 25 → □ = 100 × 25 = 2500 cm = 25 m예요.
전체를 주어진 비로 나눌 때도 비례식을 써요. 다음 단원이에요.
3 × □ = 45 같은 식을 3 × x = 45로 쓰고 푸는 게 일차방정식이에요. Q2의 표가 정비례예요.
모양이 같은 두 도형에서 대응하는 변의 길이로 비례식을 세워 모르는 길이를 구해요. Q3의 그림자가 바로 닮음이에요.
"같은 빠르기로 가면", "같은 진하기로 만들면" 같은 문제는 모두 비례식이에요.