× 3은 3배, × 12은 12배. 곱셈을 '몇 배'로 보면 분수의 곱셈이 모두 하나로 이어져요.
처음이라 어렵게 느껴지면 기본 버전부터 보세요.
2학년 때 곱셈은 "같은 수를 여러 번 더하기"였어요. 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3. 그런데 3 × 12은 3을 12번 더하기? 말이 안 되죠. 그래서 수학자들은 곱셈의 뜻을 넓혔어요. "몇 배로 만들기"예요.
"몇 배"로 보면 1이 경계예요. 1보다 큰 배율은 늘이고, 1보다 작은 배율은 줄여요. "곱하면 커진다"는 건 자연수(1 이상)만 곱할 때의 이야기였던 거예요. 새로운 수(분수)를 만나면서 곱셈의 뜻이 더 넓어진 거예요.
직사각형의 넓이는 가로 × 세로예요. 가로 3, 세로 4이면 1 × 1 정사각형이 12개. 이 규칙은 길이가 분수여도 그대로예요. 그래서 분수의 곱셈을 넓이로 보면 자연수 곱셈과 같은 그림이 돼요.
1 × 1 정사각형 하나를 판 하나로 보면, 기본 페이지에서 본 초콜릿 판의 겹친 칸이 바로 이 넓이예요. 분모끼리 곱하는 건 정사각형 하나가 몇 칸으로 나뉘었는지, 분자끼리 곱하는 건 직사각형 안에 칸이 몇 개 있는지를 세는 거예요.
피자 한 판이 있어요. 매번 남은 것의 12을 먹으면, 두 번 먹고 나서 남은 피자는 처음의 얼마일까요? 반의 반이니까 12 × 12 = 14이에요. "12 + 12을 먹었으니 다 먹었다"가 아니에요!
"남은 것의 23의 23" = 23 × 23. 기준이 되는 양이 매번 바뀌기 때문에 더하면 안 되고 곱해야 해요. 가게에서 "할인한 가격에서 또 할인"할 때도 똑같아요. 반값의 반값은 14 가격이지, 공짜가 아니에요.
23 × 34("23의 34")와 34 × 23("34의 23")는 말로는 다른데 답이 같아요. 판을 돌려 보세요.
판을 90도 돌리면 세로 칼집과 가로 칼집이 서로 바뀌지만 겹친 칸은 그대로예요. 그래서 a × b = b × a예요. 1단계의 25 × 3("25를 3번")과 3단계의 3 × 25("3의 25")가 같은 것도 같은 이유예요. 계산이 쉬운 쪽으로 생각해도 돼요.
34시간은 몇 분일까요? 1시간 = 60분이니까 "60분의 34" = 60 × 34 = 45분. 큰 단위의 분수 → 작은 단위로 바꾸는 건 언제나 (자연수) × (분수)예요.
동전을 던지면 앞면이 나올 가능성은 12이에요. 동전을 던지고, 그리고 주사위를 던져서 "앞면 그리고 짝수"가 나올 가능성은? 가능한 경우를 판으로 그려 보면 초콜릿 판의 겹친 칸과 똑같아요.
이렇게 "둘 다 일어날 가능성"을 곱셈으로 구하는 것은 중학교 2학년 확률에서 정식으로 배워요. 그 바탕이 바로 오늘 배운 '겹친 칸 세기'예요.
팬케이크 4인분 레시피밀가루 2컵우유 112컵설탕 34컵
2인분은 4인분의 12이라서 모든 재료 × 12밀가루 2 × 12 = 1컵우유 112 × 12 = 32 × 12 = 34컵설탕 34 × 12 = 38컵
6인분은 4인분의 64 = 32이라서 모든 재료 × 32밀가루 2 × 32 = 3컵우유 112 × 32 = 32 × 32 = 94 = 214컵설탕 34 × 32 = 98 = 118컵
지도는 실제 땅을 똑같은 비율로 줄인 그림이에요. 얼마나 줄였는지를 축척이라고 해요.
📱 카카오맵에서 직접 확인해요
카카오맵 화면 구석에는 짧은 막대와 "100m" 같은 글자가 있어요. 막대 길이만큼이 실제로 100 m라는 뜻이에요. 화면을 크게 하거나 작게 하면 막대 글자도 바뀌어요.
막대를 자로 재어 보니 1 cm였다고 해 봐요. (휴대폰마다 조금 달라요.)100 m = 100 × 100 cm = 10000 cm (1 m = 100 cm)화면 1 cm = 실제 10000 cm→ 이 지도는 실제를 110000로 줄인 거예요.
지도 → 실제: × 10000
집에서 학교까지 화면에서 3 cm3 × 10000 = 30000 cm = 300 m (100 cm = 1 m)
실제 → 지도: × 110000
실제 500 m(50000 cm)인 공원50000 × 110000 = 5 cm
화면을 작게 해서 막대(1 cm)가 "1km"가 되면1 km = 1000 m = 100000 cm→ 1100000로 줄인 지도예요. 더 많이 줄일수록 더 넓은 곳이 한 화면에 들어와요.
지도는 '× 분수'로 줄인 세상이에요.
"정가의 34 가격"이면 8000원 × 34 = 6000원. 6학년에 배우는 백분율(%)도 같은 곱셈이에요.
가로 212 m, 세로 113 m인 텃밭은 52 × 43 = 103 = 313 m². 길이가 분수여도 넓이는 가로 × 세로.
나눗셈은 곱셈을 되돌리는 일이에요. "몇 배를 했더니 이만큼이 됐나?"를 거꾸로 묻는 거예요. 그래서 분수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하게 돼요.
"전체의 34"는 75%. 비율은 '몇 배'를 다르게 쓴 말이에요.
음수도 곱해요. "−2배"는 2배로 늘이고 방향을 반대로 돌리는 거예요. 배율 생각이 그대로 쓰여요.
Q6의 "그리고는 곱하기"가 두 사건이 함께 일어날 확률이 돼요.
사진을 가로세로 모두 12배로 줄이면 넓이는 12 × 12 = 14배. 넓이로 본 곱셈이 그대로 쓰여요.